Wyprowadzimy teraz wzór na sprawność silnika Carnota.

Cykl Carnota, przedstawiony na Rys. 1, przebiega czterostopniowo:

1. Gaz znajduje się w stanie równowagi \( p_{1} \), \( V_{1} \), \( T_{1} \). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła ( \( T_{1} \)) i pozwalamy, żeby gaz rozprężył się izotermicznie do stanu \( p_{2} \), \( V_{2} \), \( T_{1} \). W tym procesie gaz pobiera ciepło \( Q_{1} \) i jego kosztem wykonuje pracę podnosząc tłok.
2. Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i pozwalamy na dalsze rozprężanie (adiabatyczne) gazu do stanu \( p_{3} \), \( V_{3} \), \( T_{2} \). Gaz wykonuje pracę podnosząc tłok kosztem własnej energii i jego temperatura spada do \( T_{2} \).
3. Cylinder stawiamy na zimniejszym zbiorniku ( \( T_{2} \)) i sprężamy gaz izotermicznie do stanu \( p_{4} \), \( V_{4} \), \( T_{2} \). Pracę wykonuje siła zewnętrzna pchająca tłok, a z gazu do zbiornika przechodzi ciepło \( Q_{2} \).
4. Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i sprężamy adiabatycznie do stanu początkowego \( p_{1} \), \( V_{1} \), \( T_{1} \). Siły zewnętrzne wykonują pracę i temperatura gazu podnosi się do \( T_{1} \).

Podczas przemiany (1) gaz pobiera ciepło \( Q_{1} \) i jego kosztem wykonuje \( W_{1} \)

Analogicznie podczas przemiany (3) siła zewnętrzna wykonuje pracę \( W_{2} \), a z gazu do zbiornika przechodzi ciepło \( Q_{2} \)

Dzieląc te równania stronami, otrzymujemy

Z równania stanu gazu doskonałego \( pV=nRT \) dla przemian izotermicznych (1) i (3) wynika, że

Natomiast dla przemian adiabatycznych (2) i (4) z równania Poissona \( pV^{\kappa} = \text{const.} \) wynika, że

Z powyższych czterech równań wynika, że

skąd

Podstawiając to wyrażenie do równania ( 3 ), otrzymujemy

i możemy teraz zapisać sprawność silnika Carnota (dla gazu doskonałego) jako